ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต
(สำหรับนักเรียนที่ไม่สามารถชมคลิปบอร์ดของโปรแกรม Geogebra ได้ ให้เข้าไปอ่านลายละเอียดตามลิ้งค์ที่ครูได้จัดทำให้ >>คลิ๊ก<< )
ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต
การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยส่วนที่สำคัญอยู่ 4 ส่วนคือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท
1. อนิยาม(Undefinition) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่าไม่ต้องให้ความหมาย หรือคำจำกัดความ เพราะการอธิบายคำจำกัดความใดๆ ต้องอาศัยพื้นฐานบางคำมาอธิบาย และถ้าให้ความหมายของคำพื้นฐานนั้น ก็ต้องมีคำใหม่อธิบายเพิ่มขึ้น จึงอาจจำเป็นต้องวนกลับไปมาใช้คำเก่าวนเรื่อยๆไปมาเช่นกันซึ่งถ้าเรานิยามคำเหล่านั้นไปแล้วก็ไม่เกิดประโยชน์อะไรเลย เสียเวลาเปล่า เช่น นิยามที่ว่า “จุดเป็นสิ่งที่ไม่มีขนาด” นิยามนี้ไม่ได้ให้ความหมายอย่างแท้จริงเพราะเราไม่รู้ว่าขนาดคืออะไร แล้วถ้าเราจะให้ความหมายของขนาด คือ สิ่งที่บอกให้รู้ว่าใหญ่หรือเล็ก ต่อไปก็เกิดคำถามว่าใหญ่คืออะไร เล็กคืออะไร เราก็ตอบว่าใหญ่คือไม่เล็ก ส่วนเล็กก็คือไม่ใหญ่ จะเห็นได้ว่าอธิบายเสียยืดยาวเราก็ยังไม่เข้าใจคำว่า “จุด” อย่างแท้จริงเลย เราจึงให้จุดเป็นคำอนิยาม
2. บทนิยาม(Definition) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจนเพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจตรงกัน โดยสามารถใช้คำอนิยามมาประกอบด้วยก็ได้เพื่อให้เกิดความหมายชัดเจน เช่น “พ่อ” และ “ลูก” เป็นคำอนิยาม เราก็อาจอธิบายได้ว่า
ปู่ คือ พ่อของพ่อ ยาย คือ แม่ของแม่
ทวด คือ พ่อของปู่ หลาน คือ ลูกของลูก เป็นต้น
จะเห็นว่าเราสามารถอธิบายความหมายของคำว่า ปู่ ยาย ทวด และหลานได้ เราจึงจัดคำเหล่านี้ว่าเป็น “คำนิยาม” และความหมายที่อธิบายความหมายของคำนิยาม เราเรียกว่า “นิยาม” นั่นเอง อนึ่งการนิยามที่ดีต้องระบุสมบัติที่เด่นชัดของสิ่งเหล่านั้น เป็นข้อความที่สั้นและรัดกุม ประหยัดคำ รวมถึงจะต้องวกกลับวลีในบทนิยามได้ โดยความหมายต้องไม่เปลี่ยนแปลง เช่น 1+1 = 2 ถ้าสลับที่แล้วจะได้ 2 = 1+1 ก็ถือว่าเป็นนิยามที่ดี หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้าน ถ้าสลับข้อความแล้วจะได้ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้าน คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ยังสามารถใช้เป็นนิยามได้ เพราะความหมายยังคงเดิม แต่หากนิยามว่า คนเป็นสัตว์มีกระดูกสันหลัง ถ้าสลับที่แล้วคือ สัตว์มีกระดูกสันหลังเป็นคน ความหมายจะเปลี่ยนไปจัดว่าเป็นข้อความที่เป็นเท็จ เพราะถ้าเป็นนิยาม เราก็คงสรุปว่า ปลา ลิง หรือเสือ ก็ต้องเป็นคน
3. ข้อตกลงเบื้องต้น คือ ข้อความที่เรายอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์และข้อความเหล่านั้นก็เป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลในการพิสูจน์ โดยเราใช้หลัก 3 ประการ เพื่อให้เกิดสัจพจน์ คือ
- มีความเชื่อร่วมกันเป็นสมมติฐานโดยใช้ประสบการณ์และความคุ้นเคยจนเป็นค่านิยม เช่นทำดีได้ดี ทำชั่วได้ชั่ว หรือทำดีขึ้นสวรรค์ ทำชั่วลงนรก
- สิ่งเหล่านั้นเป็นจริงโดยตัวมันเอง หรือทุกคนยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่มีข้อโต้แย้งใดๆ มาแย้งได้เลย เช่น คนทุกคนต้องตาย
- เป็นความจริงที่ทุกคนต้องยอมรับเพื่อความสะดวกสบายต่อความเป็นอยู่ในสังคม เช่น กฎหมาย กติกามรรยาททางสังคม ศีล 5 เป็นต้น
เราจึงพูดได้ว่า ความเชื่อหรือหลักการที่ยึดถือร่วมกันดังกล่าว แบ่งเป็น 3 แบบ คือ
1. สมมติฐาน(Hypothesis) เป็นความเชื่อโดยสามัญสำนึก เกิดจากการคาดคะเน
2. สัจพจน์(Axiom or postulate) เป็นความเชื่อที่เป็นจริงโดยตัวมันเอง
3. กติกาหรือข้อตกลง(Law) เป็นสิ่งที่ทุกคนยอมรับเพื่อความเป็นหนึ่งเดียว ความตรงกัน
4. ทฤษฎีบท(Theorem) คือ ข้อความต่างๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง โดยการพิสูจน์จะต้องนำข้อความที่เป็นจริงมาอ้างอิงและสรุปโดยการใช้กระบวนการให้เหตุผล ทำให้ข้อความเหล่านั้นเป็นจริงขึ้นมา โดยสามารถอ้างอิงจาก คำนิยามหรืออนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้น หรือทฤษฎีบทที่มีมาแล้วก็ได้ ระดับของทฤษฎีบทมี 2 ระดับ คือ
1. ทฤษฎีบทระดับต้น คือ ทฤษฎีบทที่ใช้คำอนิยาม หรือคำนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้นเท่านั้น สำหรับนำมาใช้
อ้างอิงในการพิสูจน์
2. ทฤษฎีบทระดับธรรมดา คือ ทฤษฎีบทที่ใช้คำอนิยาม หรือคำนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้น และทฤษฎีบทที่พิสูจน์
มาแล้วมาผสมกันใช้อ้างอิงในการพิสูจน์
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น