สามเหลี่ยมคล้าย

6.สามเหลี่ยมคล้าย

 ความคล้าย

1. 1. รูปเรขาคณิตสองรูปเป็นรูปที่คล้ายกัน เมื่อรูปเรขาคณิต ทั้งสองนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน เช่น รูป A กับรูป B รูป A รูป B หรือ รูป B รูป Aใช้สัญลักษณ์ รูป A ~ รูป B อ่านว่า รูป A คล้ายกับรูป B
2. 2. สมบัติของความคล้าย B C A1. สมบัติสะท้อน รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต A2. สมบัติสมมาตร รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B แล้ว รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต A 3. สมบัติถายทอด ่ รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต B และ รูปเรขาคณิต B ~ รูปเรขาคณิต C แล้ว รูปเรขาคณิต A ~ รูปเรขาคณิต C
3. 3. บทนิยาม รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคูที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ่ A B P Q R S D Cถ้า รูปABCD ~ รูปPQRS PQ QR RS SP AB BC CD DA    PQ QR RS SP หรือ    AB BC CD DA
4. 4. บทนิยาม รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคูที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน ่ A B P Q R S D Cถ้า รูปABCD ~ รูปPQRS PQ QR RS SP AB BC CD DA    PQ QR RS SP หรือ    AB BC CD DA
5. 5. ตัวอย่าง ข้อ8. จากรูป RICH ~ BANK จงหาขนาดของมุมทุกมุมที่ไม่ได้ระบุไว้ 95 120  80 65 801) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  R  B, I  A, C  N , H  K (เป็นมุมที่สมนัยกันของสีเหลี่ยมคล้าย) ่2)  ˆ B  80  (ผลจาก ข้อ1)3) ˆ K  95  (มุมภายในรูปสีเหลี่ยมรวมกันได้ 360 องศา) ่ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4)  R  B  80  , I  A  65  , C  N  120  , H  K  95  ( ผลจาก ข้อ1 ถึง ข้อ 3 )
6. 6. D A E FB C ถ้า ABC ~ DEF AB BC AC ดังนั้น   DE EF DF
7. 7. และ MB // RF กาหนดความยาวของด้านต่างๆ ดังรูป B y x F O 6 5 15 4 M   R1) BO M  F O R ( มุมตรงข้าม)  2) B MO  R F O ( มุมแย้ง)  3) M BO  F R O ( มุมแย้ง)4) BOM ~ FRO (มีมมเท่ากัน 3 คู) ุ ่
8. 8. x 45)  (ด้านที่สมนัยกัน คืออยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่เท่ากัน) 15 66) x 415  10 (ผลจาก ข้อ 5. ) 6 y 57)  (ในทานองเดียวกันกับข้อ 5. ) 15 68) y 515  25 (ผลจาก ข้อ 7. ) 6 2
9. 9. ข้อ2. หน้า 169 ABC ~ AEF y  25 25  x 20 25 20   27 25 25  25 y  25  20 20 27 125 x y  25  25 4 125 y  25 x  21.6 4 125  100 y 4 25 y  6.25 4
10. 10. บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม สองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ D A B C E F ถ้า ABC ~ DEF แล้ว ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A  D, B  E , C  F และถ้า ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A  D, B  E , C  F แล้ว ABC ~ DEF ABC ~ DEF ก็ต่อเมื่อ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A  D, B  E , C  F
11. 11. ข้อ 1. หน้า 168) จากรูป รูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ต่อไปนี้คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 2). ในทานองเดียวกัน สามารถให้เหตุ ผลได้ว่า 62 ในรูป MNA ˆ N  180   60   58   62  68 ดังนั้นรูปสามเหลียมทั้งสองไม่ ่ จากรูป BYO มี คล้ายกัน ( มีมุมเท่ากันไม่ครบ 3 คู่ ) ˆ ˆ B  60  , Y  52  (กาหนดให้) ˆO  180   60   52   68  (ผลบวกของมุมภายในรูปสามเหลียมคือ 180 องศา) ่
12. 12. ทฤษฎีบท ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน AB BC CA DF FE ED ถ้า   หรือ   DF FE ED AB BC CA แล้ว ABC ~ DFE
13. 13. ข้อ 1. หน้า 176) จากรูป รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด 2). จาก ATE และ RTN 25 AT  15  15 3  RT (15  10 ) 25 5 TE 18 18 3    TN 18  12 30 5 EA 12 3   NR 20 5 ดังนั้น ATE ~ RTN ( เพราะรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกัน เท่ากัน 3 คู่ )
14. 14. ตัวอย่าง จากรูป กาหนดให้ AD DE AE   AB BC AC จงพิสจน์ว่า ู DE // BC     กาหนดให้ AD DE AE   AB BC AC ต้องพิสูจน์ว่า DE // BC พิสูจน์  AD DE AE   ( โจทย์กาหนดให้ ) AB BC AC แล้ว ADE ~ ABC( อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากัน ) ADE  ABC , AED  ACB ( สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ) ˆ ˆ ˆ ˆ ดังนั้น DE // BC ( มุมภายในและมุมภายนอกบนข้างเดียวกันของ เส้นตัด มีขนาดเท่ากัน )
15. 15. 4.3 การนาไปใช้ ข้อ 3. หน้า 185) จากรูป จงหาความกว้างของเหว ระหว่างจุด P และจุด R ( ความยาวที่กาหนดให้มหน่วยเป็นเมตร ) ี ˆ ˆ  M  R  90  (ต่างก็เป็นมุมฉาก) ˆ ˆ MNL  PNR (เป็นมุมตรงข้าม) ˆ ˆ LP (เป็นมุมที่เหลือจากมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม) ดังนั้น LMN ~ PRN (มีมมเท่ากัน 3 คู) ุ ่ PR RN  (สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน) LM MN
16. 16. PR 120  25 30 120  25PR   100 30ดังนั้นเหวกว้าง = 100 เมตร